一页速记卡 · 常考题型（第14章）

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来源：数量关系讲义 P148-180（上岸鸭）。生成日期 2026-09-24。配套章节：01-职测/03-数量关系/第14章-常考题型.md。

本章任务

数量关系共九类题型，按“基本概念→公式→常考题型→解题方法”逐块掌握；拿到题先判定属于哪类、调哪条公式。
公式类（数列/利润/工程/行程/几何/容斥）重“照公式代入”；计数类（排列组合/概率/最值）重“模型识别 + 方法选择”。

考点框架

⭐ 第一节等差数列问题（考查难度中，频次★★★，重要★★★★）
⭐ 第二节经济利润问题（中，★★★，★★★★）
⭐ 第三节工程问题（高，★★★，★★★★★）← 讲义标重要性最高
⭐ 第四节行程问题（中，★★★★，★★★★）
⭐ 第五节排列组合问题（高，★★★★★，★★★）← 讲义标考查频次最高
⭐ 第六节概率问题（高，★★★★★，★★★★）← 讲义标考查频次最高
⭐ 第七节几何问题（高，★★★★，★★★★）
⭐ 第八节最值问题（中，★★★，★★★）
⭐ 第九节容斥问题（中，★★★，★★★）
⭐ 高频/重点（讲义 P148 章节导学原标）：工程问题重要性★★★★★；排列组合、概率考查频次★★★★★；行程、几何考查频次★★★★。

核心判定

🔴 等差数列通项：aₙ = a₁ + (n−1)d；推论 aₙ − aₘ = (n−m)d（已知任意一项 + 公差即可求其他项）
🔴 等差数列求和：基本 Sₙ = (a₁ + aₙ) × n / 2；中项求和（n 奇）Sₙ = 中项 × n，（n 偶）Sₙ = 中间两项和 × n/2
判定信号：题干出现“每天比前一天多/少固定量”“成绩成等差数列”“平均数即中项”
速解：奇数项等差数列平均数=中项，可直接用中项×n 求和（例题2、3）
🔴 利润 = 售价 − 成本 = 成本 × 利润率；成本 = 售价 − 利润 = 售价/(1 + 利润率)
🔴 售价 = 成本 + 利润 = 成本 × (1 + 利润率)；利润率 = 利润/成本 × 100% = (售价/成本 − 1) × 100%
🔴 打几折 = (折后售价/折前售价) × 10 = (成本×(1+折后利润率))/(成本×(1+折前利润率)) × 10
🔴 总价 = 单价 × 数量；总利润 = 单件利润 × 数量
判定信号：出现成本/售价/利润/利润率/打折/销量
速解：只给比值→赋值法（满足 C=A×B 且仅一个量已知）；分段计费按分段分别计费（水电/停车/行李，例题6）
🔴 工程基本：W = P × T；P = W/T；T = W/P
🔴 工程正反比：总量一定效率∝1/时间；效率一定总量∝时间；时间一定总量∝效率
判定信号（合作工程三型）：给定时间型→赋值总量为各完工时间公倍数；效率制约型→赋值各效率为比例值；效率相同型→赋值各效率均为1
速解：交替工程四步——定总量算各效率→定最小周期及周期效率和→算完整周期数及余量（总工作量/周期效率 取商余）→结合余量算（例题无编号步骤，P155）
🔴 行程基本：S = V × T；V = S/T；T = S/V
🔴 行程正反比：路程一定速度∝1/时间；速度一定路程∝时间；时间一定路程∝速度
🔴 相遇：S和 = (V甲 + V乙) × t（路程和 = 速度和 × 时间）
🔴 追及：S差 = (V快 − V慢) × t（路程差 = 速度差 × 时间）
🔴 环形相遇：S和 = 环形周长 = (V甲 + V乙) × t；第 n 次相遇共走 n 周
🔴 环形追及：S差 = 环形周长 = (V快 − V慢) × t；第 n 次追上多跑 n 周
🔴 牛吃草：原有草量 = (牛吃草速度 − 草每天生长速度) × 天数；赋每头牛每天吃 1 份，原有草量 = (N − X) × 天数（N 牛头数，X 日长速）
判定信号：相遇“同时异地相向”；追及“异地同时同向、快追慢”；环形“同时同地反向/同向”；牛吃草“排比给数量+时间、初始量受两因素影响”（抽水放水/排队检票也算）
速解：狗来回跑题先求相遇时间再算狗路程（例题5）；环形追及第 n 次多跑 n 周
🔴 加法原理（分类相加）：总数 = M₁ + M₂ + … + Mₙ
🔴 乘法原理（分步相乘）：总数 = M₁ × M₂ × … × Mₙ
🔴 排列 Aₙᵐ：从 n 取 m 按“顺序”排；组合 Cₙᵐ：从 n 取 m 成“组”（无序）
🟢 四法：枚举法（情况少、选项小）；优限法（绝对限制元素/位置优先）；捆绑法（相邻→捆整体排序再排内部）；插空法（不相邻→先排其他再插空，两边也算空）
判定信号：“不同派遣方法/顺序种数”→排列组合；“相邻”→捆绑，“不相邻”→插空
速解：先分有序(排列)与无序(组合)；限制元素先安排（优限法）
🔴 概率范围 0 ≤ P ≤ 1（必然 1、不可能 0）
🔴 古典概率 P(A) = 事件A等可能样本数 / 总等可能样本数（结果有限且等可能）
🔴 独立事件：分类发生→概率相加；分步发生→概率相乘
判定信号：“随机选”“等可能”“互不影响”
速解：算样本数通常结合排列组合；“至少一个”常用 1 − 全不发生（例题4 补集）
🔴 平面：三角面积=底×高/2；正方形4a / a²；长方形2(a+b) / ab；菱形4a / 对角线积/2；梯形(上底+下底)×高/2；圆2πr / πr²；扇形弧长=nπr/180、面积=nπr²/360
🔴 直角：a²+b²=c²；勾股数(3,4,5)(6,8,10)(5,12,13)；30°直角三边比1:√3:2、等腰直角1:1:√2
🔴 立体：正方体6a² / a³；长方体2(ab+ac+bc) / abc；棱锥V=Sh/3；圆柱2πr²+2πrh / πr²h；圆锥πr²+πrl / πr²h/3；球4πr² / 4πr³/3
判定信号：周长/面积/表面积/体积；阴影比→用比例（同心圆按半径平方比）
速解：几何题多用比例与特殊三角形，不必硬算（例题4 同心圆按角度比）
🔴 和定最值：求某量最大→其余量尽可能小；求最小→其余量尽可能大
🔴 最不利原则：保证数 = 最不利数 + 1（问法“至少…才能保证…”）
判定信号：“和/平均一定，求最大最小”→和定最值；“至少…保证”→最不利
速解：和定最值先设未知数再极端化；最不利先数“最倒霉”再 +1
🔴 二者容斥：I = A + B − A∩B + M（M 为都不属于的补集）
🔴 三者标准：I = A+B+C − A∩B − A∩C − B∩C + A∩B∩C + M（题干给两两交集数值）
🔴 三者非标准：I = A+B+C − 只属于两项 − 2×A∩B∩C + M（题干给“只两项”数值）
🔴 容斥极值：两者交最小 = A+B−I；三者交最小 = A+B+C−2I；n 者交最小 = n 集合和 − (n−1)I
🟢 文氏图法：出现“只A”“只B”或公式不便直接套时，画图辅助
判定信号：“既…又…”“至少”“都不”→容斥；四集合→用容斥极值求最小交集
速解：给“只两项”用非标准，给“两两交集”用标准；求最小交集用容斥极值公式

解题步骤

判定题型：抓关键词——成本售价→利润；合作完工→工程；相向/追及→行程；方法数→排列组合；随机等可能→概率；周长面积体积→几何；最大最小→最值；既…又…→容斥
调公式/模型：公式类直接代；计数类先判有序(排列)还是无序(组合)，再选枚举/优限/捆绑/插空
赋值简化：工程、利润只给比值时赋值（总量取公倍数 / 效率取 1 / 效率取比例值）
牛吃草 / 容斥极值：牛吃草列 (N−X)×天数 方程组求原草量与日长速；容斥先判标准/非标准再代入
验算：几何查单位，容斥查不重不漏，概率查等可能，工程/行程查正反比方向

易混辨析

🟠 利润 vs 利润率：利润=售价−成本（绝对量）；利润率=利润/成本（相对量），打折算的是售价比例不是利润率
🟠 相遇 vs 追及：相遇用“和”（速度和×时间）；追及用“差”（速度差×时间），别混
🟠 环形相遇 vs 环形追及：反向→相遇（和=周长×n 次）；同向→追及（差=周长×n 次）
🟠 排列 vs 组合：是否“按顺序”——排队/分配岗位/依次上台是排列，成组/选人是组合
🟠 容斥标准 vs 非标准：标准吃“两两交集 A∩B”；非标准吃“只属于两项”，公式给错会多减/少减
🟠 和定最值方向：求最大让其余最小、求最小让其余最大，方向相反别反
🟠 最不利原则：保证数 = 最不利数 + 1，不是最不利数本身

错题提醒

待回填：本章尚未做题，暂无错题记录；建议错因写到具体考点（公式代错 / 模型判错 / 赋值错）而非只记题号
首轮重点复核（讲义内综合度最高、易错）：第三节工程例题4（两项工程 + 丙队调配，P156）；第四节行程例题10（牛吃草·自然损耗，P163）；第五节排列组合例题8（插空 + 两侧约束，P166）；第六节概率例题6（独立事件签约，P168-169）；第九节容斥例题7（四集合容斥极值，P179）