常考题型

职测 · 数量关系 · 讲义 · 来源：职测

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学习提要

本节先保留逐页原文，学习时可在此补充定义、解题步骤、易错点和变式题。
例题、答案和公式请以原始 PDF 对应页核对；OCR 可疑页见 处理资料/职测-基础阶段-讲义-2492632-2727ac6fa6/manifest.md。

逐页原文

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上岸鸭公考懂公考更懂你内部资料，仅供交流学习第二章常考题型章节概述数量关系部分的题型众多，涉及的知识繁杂，如何对众多题型涉及的知识、方法、技巧进行整理、学习和使用就是数量关系复习的重点与难点。本章主要介绍考试中常见的九种题型，将从每种题型的基本概念、公式、常考题型、解题方法等方面进行展开讲解。章节导学内容速览重点知识考查难度考查频次重要性 ①基本概念第一节等差数列问题 ★★★ 中 ★★★★ ②常用公式 ①基本概念与公式第二节经济利润问题 ★★★ 中 ★★★★ ②常考题型 ①基本概念与公式第三节工程问题 ★★★ 高 ★★★★★ ②合作工程问题的解题方法 ①基本概念与公式第四节行程问题 ★★★★ 中 ★★★★ ②相遇追及模型要点 ①加乘原理第五节排列组合问题 ②排列与组合 ★★★★★ 高 ★★★ ③常用方法 ①古典概率的条件第六节概率问题 ★★★★★ 高 ★★★★ ②古典概率的基本公式 ①平面与立体几何的基本公式第七节几何问题 ★★★★ 高 ★★★★ ②平面几何常用的基本性质和定最值问题第八节最值问题 ★★★ 中 ★★★ ② 最不利原则判定二者容斥公式第九节容斥问题 ② 三者容斥公式 ★★★ 中 ★★★ 容斥最值公式 144

章节概述（备考定位）

1. 考试大纲

本章属于职测数量关系模块的数学运算题型。现有讲义未提供福建事业单位考试的独立大纲表述；本章按常见考查内容讲解九种题型的基本概念、公式、常考题型和解题方法。

2. 考察内容

等差数列问题：基本概念、通项公式、通项推论、求和公式和中项求和公式。
经济利润问题：成本、售价、利润、利润率、打折、销量的关系；公式法、方程法、赋值法和分段计费。
工程问题：工作总量、工作效率、工作时间；基础工程、给定时间型/效率制约型/效率相同型合作工程和交替工程。
行程问题：路程、速度、时间；基础行程、相遇、追及、环形相遇与追及、牛吃草问题。
排列组合问题：加法原理、乘法原理、排列与组合；枚举法、优限法、捆绑法和插空法。
概率问题：古典概率的结果有限性、结果等可能性、基本公式和独立事件的分类相加、分步相乘原则。
几何问题：平面图形周长与面积、直角三角形性质、立体图形表面积与体积公式。
最值问题：和定最值、最不利原则及“保证数=最不利数+1”。
容斥问题：二者容斥、三者容斥、文氏图法、标准/非标准公式和容斥极值。

3. 能力要求

能根据关键词、数量关系和模型特征识别九类题型。
能准确调用数列、利润、工程、行程、排列组合、概率、几何、最值和容斥公式。
能把题干条件转化为方程、比例、计数模型或集合关系，并选择合适的简化方法。
能处理合作、交替、环形、分段计费、限制条件、最不利情况和重叠计数等综合条件。
能检查单位、范围、整数性、等可能性和集合重复计数，避免公式误用。

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上岸鸭公考内部资料，仅供交流学习懂公考更懂你第一节等差数列问题理论精讲一、基本概念（一）数列的定义按确定的顺序排列的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫作数列的项。第几个数就叫做第几项，用n表示该数列的项数。（二）等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个数，这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母“d”表示。（三）等差数列中的项在等差数列的项中，第一项叫做首项，表示为a；最后一项叫做末项，通常表示为an。如果等差数列的项数为奇数，则该数列存在中间一项，简称等差中项，通常表示为，其中间项的项 n+1. 数为 +1。二、基本公式在等差数列中，需要掌握以下计算公式：（一）通项公式等差数列的通项公式是研究数列中任意一项a与首项a,的关系的公式。 1．基本通项公式对于首项a，公差为 d的等差数列，其通项公式为a,=a,+(n-1）d。【示例】已知数列{a}是公差为3的等差数列，若a,=6，则ag的计算：根据等差数列的通项公式：an=a,+(n-1）d，可得ag=6+(8-1)×3=27。 2.通项公式推论思考：在一个等差数列中，若an=a,+(n-1）d，am=a,+(m-1）d，则an-am可得什么结论? an-am=a,+(n-1) d-a,-(m-1) d=(n-1) d-(m-1) d=(n-m) d 由上可知：an-am=（n-m）d。在使用通项公式推论时需注意：只需要知道等差数列中任意一项的值与公差，即可求得其他项的值。 145

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上岸鸭公考懂公考更懂你内部资料，仅供交流学习（二）求和公式等差数列的求和公式是研究数列中从第一项到第n项的和的公式，通常把前n 项和记为S。。 1．基本求和公式 ixno 2 2．中项求和公式对于首项a,，公差为d的等差数列，若其项数n为奇数，则其前 n项和为a×n；若其项数n为偶数, 则其前n项和为中间两项和x项数一半。经典例题【例题1】在荔枝成熟的季节，某果园雇人采摘荔枝。已知从第二天起，每天的采摘量比前一天少50千克；从第十天起，每天的采摘量都是前一天的一半。如果第十三天的采摘量为10千克，则果园第一天采摘了（）千克荔枝。 A.540 B.560 C. 580 D.600 【例题2】某工厂对13名工人进行技能评比，13名工人的成绩恰好成等差数列，所有人的平均成绩为87分，后 7名的成绩之和为567分，则第1名的成绩是（）分。 A.100 B.99 C. 98 D. 97 【例题3】某成衣厂对9名缝纫工进行技术评比，9名工人的得分正好成等差数列，9人的平均得分是86分，前 5名工人的得分之和是460分，那么前7名工人的得分之和是多少： A.602 B.623 C.627 D.631 【例题4】甲乙两条生产线同一天开始生产某种产品，甲每天比前一天多生产m件，乙每天比前一天少生产2m 件，第5天两条生产线的当日产量相同，且前5天乙的累计产量是甲的2倍。问第一天乙的产量是甲的多少倍。（） A.6 B.7 C. 4 D.5 146

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上岸鸭公考内部资料，仅供交流学习懂公考更懂你第二节经济利润问题理论精讲、基本概念与公式经济利润问题指题干涉及成本、售价、利润、利润率、打折、销量等一系列经济名词的具体数学计算问题。常见公式如下： ①利润=售价-成本=成本x利润率售价 ②成本=售价-利润= 1+利润率 ③售价=成本+利润=成本×（1+利润率）利润售价－成本售价 ④利润率= ×100% ×100%= -1）×100% 成本成本成本折后售价成本×(1+折后的利润率) 1+折后利润率 ③打几折= x10 x10= ×10 折前售价成本×(1+折前的利润率) 1+折前利润率总价=单价×数量；总利润=单件利润×数量二、常考题型（一）基础经济利润问题 1．公式法使用环境：当题干信息实际量较多时，通常条件比较充分，可直接根据成本、售价、利润、利润率之间的公式关系直接解题。 2．方程法使用环境：题干关于经济利润问题中相关概念的等量关系明显，有相关实际量，多采用方程法求解。 3．赋值法使用环境：题干数据中只有比值关系，或题干中涉及的量满足C=AxB的形式，有且只有一个量已知时，可考虑赋值法求解。（二）分段计费问题 1．题型特征题干描述了在不同阶段按照不同标准分段进行收费的情况，需要根据分段情况计算分段点或总费用。分段计费通常考查水电费、停车费、行李托运费等问题。 2.常用解题方法根据题干描述的分段标准，每段分别计费，可直接计算，也可结合方程进行求解。 147

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上岸鸭公考懂公考更懂你内部资料，仅供交流学习经典例题【例题1】在商场里一件西装外套的成本为200元，为了吸引顾客，提高销售量，打算打九折，而折后的卖价依然比成本高35%，它的售价是多少元？ A.250 B.300 C. 350 D.400 【例题2】某古董商分别以180万元的价格出售了两件古董陶瓷器，其中一件陶瓷器获得20%的利润，另外一件陶瓷器亏本10%，那么该古董商在此交易中： A.赚25万元 B.亏25万元 C.亏10万元 D.赚10万元【例题3】某商场以每件100元的价格购进了一批T恤，定价为每件150元。商场举办国庆促销活动期间，该T 恤以6折出售，共售出1000件。促销结束后，其余T恤全部以定价售出。经结算，销售收入正好等于购入成本，则这批T恤共（）件。 A.1200 B.1500 C.2000 D.2500 【例题4】某商品第二次进价是第一次进价的80%，若售价不变，则利润率比第一次销售此商品时的利润率高40 个百分点，问第一次销售此商品时所定的利润率是多少？ A. 40% B.50% C. 60% D. 80% 【例题5】某钢厂生产一种特种钢材，由于原材料价格上涨，今年这种特种钢材的成本比去年上升了20%。为了那么今年生产该种钢材的总盈利比去年增加了多少？（） A.4% B.8% C. 20% D.54% 【例题6】某市为更有效地利用水资源，制定了居民用水收费标准：如果一户每月用水量不超过15立方米，每立方米按2元收费；如果超过15立方米，超过部分按每立方米4元收费，其余仍按每立方米2元计算。另外，每立方米加收污水处理费1元。若某户一月份共支付水费60元，则该户一月份用水（）。 A.18立方米 B.20立方米 C.23立方米 D.24立方米 148

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上岸鸭公考内部资料，仅供交流学习懂公考更懂你【例题7】某汽车美容店正在开展充值优惠洗车活动。其中，会员卡累计充值达到1000元可成为银卡会员，享受洗车7折优惠；累计充值达到2000元可成为金卡会员，享受洗车6折优惠；累计充值达到3000元可成为钻石会员，享受洗车5折优惠，已知洗车原价是50元/次，李师傅固定每月洗一次车，他最开始充值了1000 元，半年后，又追加了2000元升级会员，升级后洗了5个月车，之后他准备将洗车会员卡以八折转让，则转让价格是多少元？（） A.2665 B.2132 C. 2640 D. 2112 149

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上岸鸭公考懂公考更懂你内部资料，仅供交流学习第三节工程问题理论精讲、基本概念与公式工程问题是在研究日常的生产生活中，工作总量、工作效率、工作时间三者之间关系的数学问题。 ①工作总量=工作效率x工作时间，即W=PxT; W ②工作效率=工作总量+工作时间，即P= T W ③工作时间=工作总量+工作效率，即T= 二、常考题型（一）基础工程 1.题型特征基础工程是对基本公式W=PxT及其变式的考查，一般情况下题干只涉及单个主体工作的问题。 2.解题方法 ①方程法：基础工程问题的题干描述中通常都有明确的等量关系表述，所以此类题目可以根据题干描述及公式建立方程求解。 ②比例法：根据题干中出现的正反比关系，结合比例法进行求解。工作总量一定时，工作效率与工作时间成反比工作效率一定时，工作总量与工作时间成正比工作时间一定时，工作总量与工作效率成正比（二）合作工程 1．给定时间型使用环境：通常题干给出多个完成相同工作量的具体时间，求某一时间。赋值方法：赋值工作总量为各单独完工时间的公倍数（一般为最小公倍数），根据题干中关系，结合公式、方程进行求解。 2.效率制约型使用环境：通常题干直接或间接给出多个对象的效率之比的描述，求某一时间。 150

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上岸鸭公考内部资料，仅供交流学习懂公考更懂你赋值方法：赋值各对象的效率为比例中对应的比值数据，根据题干中关系，计算工作总量，结合公式、方程进行求解。 3.效率相同型使用环境：通常题干出现工作效率相同的人或物及其具体数量。赋值方法：赋值各对象的效率均为1。（三）交替工程 1．题型特征题干涉及多个对象按照一定的顺序周期轮流的进行工作的问题。 2．解题方法交替工程问题通常会结合赋值法进行求解，其步骤较为稳定，共有以下四步： ①根据题干条件确定工作总量，计算各对象效率； ②确定最小工作周期及周期效率（一个周期的效率和）；总工作量 ③进行计算完整周期数及工作余量： -=完整周期数…….工作余量；周期工作效率 ④结合题干所求进行计算。经典例题【例题1】李师傅加工一批零件，如果每天做50个，要比原计划晚8天完成；如果每天做60个，就可以提前5 天完成。这批零件共有多少个？ A.4000 B.3900 C. 2950 D. 4100 【例题2】某科研公司计划在10天内对新获取的800种材料进行拆解分析，按照计划进行拆解4天后，由于技术提升，拆解工作效率提高50%，则该科研公司的拆解工作提前（）天完成。 A.1 B.2 C. 3 D. 4 【例题3】甲、乙两个工程队合作完成某工程需36天，若甲工程队先做10天，剩下的工程再由两队合作30天完成。问乙工程队的工作效率是甲工程队的（）。 4 3 B. C. D. 1 3 -5 4 2 151

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上岸鸭公考懂公考更懂你内部资料，仅供交流学习【例题4】甲、乙、丙三队要完成A、B两项工程，B工程的工作量是A工程的工作量再增加，如果让甲、乙、丙三队单独做，完成A工程所需要的时间分别是20天，24天，30天。现在让甲队做A工程，乙队做B工程，为了同时完成这两项工程，丙队先与乙队合作B工程若干天，然后再与甲队合作A工程若干天。则丙队与乙队合作了（）天。 A. 15 B.16 C.17 D.18 【例题5】某条路从3月1日开始施工，由甲公司单独修建可在5月14日完成全长的由乙公司单独修建可 3 在30天完成全长的。如果两公司一起施工，几天能完成全长的？ A.24 B.28 C. 30 D.32 【例题6】某工厂有甲、乙、丙三人，如将m个零件的生产任务交给甲、乙合作需要12天完成；如将2m个零件的生产任务交给乙、丙合作需要30天完成。已知甲的生产效率是丙的2倍，问乙独自生产3m个零件需要多少天？（） A. 45 B.54 C.60 D. 72 【例题7】甲、乙两公司组织了一次植树活动，已知甲、乙公司的植树效率之比为3：2，若两公司合作植树，且中途各自休息了2天，最后用16天完成了植树，则乙公司在不休息的情况下单独完成植树需要（）天。 A. 24 B.32 C. 35 D.48 【例题8】有20名工人修筑一段公路，计划十五天完成。动工3天后抽出5人，其余人继续修路，每人工作效率不变。那么修完这段路实际用几天？（） A.19天 B.20天 C.17天 D.16天【例题9】村里修一段公路，计划20人修20天完工。开工5天后，有5人离开村子外出打工，剩下的15人继续修路。又过了10天后，再抽出5人去筹集资金。最后5天，筹集资金的有2人回来一起修路，如果每人工作效率一样，那么修完这段公路一共需要多少天。（） A.25 B.29 C.30 D. 32 152

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上岸鸭公考内部资料，仅供交流学习懂公考更懂你【例题10】甲、乙、丙和丁四辆载重不同的卡车运输一批货物。其中甲的载重是乙的2倍、是丙的3倍、是丁的 1.5倍。如果甲和丁一起运货，各跑10次正好能运完所有货物。如果乙和丙一起运货，且乙每小时运一趟、丙每半小时运一趟，问需要多少小时才能运完所有货物？ A. 14 B.14.5 C. 15 D.15.5 153

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上岸鸭公考懂公考更懂你内部资料，仅供交流学习第四节行程问题理论精讲基本概念与公式行程问题是在研究物体运动过程中，路程、速度、时间三者间关系的数学问题。 ①路程=速度×时间，即S=VxT; S ②速度=路程+时间，即V= S ③时间=路程+速度，即T 二、常考题型（一）基础行程 1.题型特征基础行程是对基本公式S=V×T及其变式的考查。 2.解题方法 ①方程法：基础行程问题的题干描述中通常都有明确的等量关系表述，此类题目可以根据题干描述及公式建立方程求解。 ②比例法：根据题干中出现的正反比关系，结合比例法进行求解。路程一定时，速度与时间成反比速度一定时，路程与时间成正比时间一定时，路程与速度成正比（二）相遇问题 1．相遇特征两个运动物体同时由两地出发相向而行（同时、异地、相向），在途中相遇，此过程即为相遇过程。 2.相遇公式：如图所示： M A B 甲从A地去B地，乙从B地去A地，然后甲乙在途中M处相遇，实质上是两人共同走了A、B这段路程。 154

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上岸鸭公考内部资料，仅供交流学习懂公考更懂你根据甲乙所走路程可得：S和=SAm+SBM=Vmt+Vzt=（V+Vz）t。即：路程和=速度和×时间。（三）追及问题 1．追及特征两个运动物体在不同地点同时出发同向而行（异地、同时、同向），位于后方一者速度快，前者的速度较慢，在一定时间内，后者追上前者的物体的过程，即为追及过程。 2.追及公式：如图所示： N B 乙从A地出发，甲从N地出发，二者同时出发，最终在B地乙追上了甲。乙最终追上了甲，实质上是乙比甲多走了AN这段路程。根据甲乙所走路程可得：S差=SAB-SNB=Vzt-Vt=（Vz-V）t。即：路程差=速度差×时间。 2．环形相遇与追及 (1）环形相遇 ①特征：两个运动的物体在环形路线（跑道、湖边等）上同时同地出发，反向而行（同时、同地、背向），经过一段时间之后在环形路线的另一点相遇，则二者所走的路程和等于跑道的周长。 ②公式：如图所示：起点甲根据甲乙所走路程可得：S和=环形跑道周长=S+Sz=Vt+Vzt=(V+Vz）t。即：环形相遇路程和=环形跑道周长=速度和×时间。 155

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上岸鸭公考懂公考更懂你内部资料，仅供交流学习【重点点拨】在环形相遇中，当甲乙两人第一次相遇时一共走了一周跑道长度；第二次相遇时一共跑了两周跑道长度；第n次相遇时一共跑了n个跑道长度。 (2）环形追及 ①特征：两个运动的对象在环形路线上，同时同地从某点出发同向而行（同时、同地、同向），经过一段时间速度较快的一方在另一点追上较慢的一方，则二者所走的路程差等于环线路线的周长。 ②公式：如图所示：起点甲乙根据甲乙所走路程可得：S差=环形跑道周长=Sz-S=Vzt-Vt=(Vz-V）t。即：环形追及路程差=环形跑道周长=速度差×时间。【重点点拨】在环形追击中，当乙第一次追上甲时，乙比甲多跑了一周；当乙第二次追上甲时，乙比甲多跑了两周；当乙第n次追上甲时，乙比甲多跑了n周。（四）牛吃草问题 1．题型特征（1）以排比的形式给出关于数量和时间的条件； (2）存在初始量，且初始量受两个因素影响。一般情况下，一个让初始量增加，一个让初始量减少。【示例】通过下题讲解牛吃草问题的特征。问题：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片青草供给10头牛吃，可以吃20天，或者供给18头牛吃，可以吃10天，期间一直有草生长。如果供给22头牛吃，可以吃天。特征分析：题干中出现了“10头牛吃20天、18头牛吃10天”的描述，给出了数量和时间这两个条件；青草每天都在生长，让草量增加，牛每天吃草，让草量减少，说明初始草量受两个因素影响。综合以上可知本题为牛吃草问题。 156

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上岸鸭公考内部资料，仅供交流学习懂公考更懂你【重点点拨】并不是出现了牛和草才是牛吃草问题，具体判定是否是牛吃草问题要依靠上述特征来分析。还有比如：抽水放水、排队检票、资源开采等，也是比较典型的牛吃草问题描述。 2.解题方法上述示例中描述的草量消耗过程如下图所示：草生长的量原有草量牛吃的草量根据图示，牛吃草过程类似于前文介绍的“追及运动”，牛一直在追赶每天生长的草，等到追上的时候，即草地上所有的草都被吃完的时候。根据追及问题的基本公式可得：原有草量=牛吃的草量-草长量=（牛吃草速度-草每天生长速度）×天数 (Y) (N) (X) (±) 一般题目中未给牛每天吃草量时可赋值每头牛每天吃“1”份草，则牛头数（N）可以代表牛每天吃的草量；设草生长的速度为X。在实际解题时，根据上述公式可列出一个方程组，结合题目情况，可求出每天的草长量和原有草量，再代入牛头数为所求头数时的等式进行求解。经典例题【例题1】列车以（x+40）千米/小时的速度行驶n小时行驶的路程，与以x千米/小时的速度行驶1.5n小时行驶的路程相等。问其以（x+60）千米/小时的速度行驶560千米需要多少小时？（） A.4.5 B.5 C. 3.5 D. 4 【例题2】甲某每天从家骑共享单车去上学，已知若以每分钟300米的速度行驶，则提早2分钟到学校；以每分钟200米的速度行驶，则会迟到7分钟到学校，则甲某家到学校的距离为（）米。 A.5000 B.5400 C.5600 D. 6000 【例题3】甲乙丙三人都始终以匀速进行400米赛跑，当甲冲过终点时，领先乙50米，领先丙120米。当乙到达终点时，领先丙多少米？ A.40米 B.70米 C. 80米 D.90米 157

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上岸鸭公考懂公考更懂你内部资料，仅供交流学习【例题4】某趣味极速竞赛中有跨栏、匍匐、独木桥三段，其路程比为3：1：2，参赛者甲匍匐路段的爬行速度是跨栏速度的，通过独木桥的速度又是跨栏速度的一，问甲通过独木桥路段的时间是匍匐路段时间的多 6 少倍？（） A.2 B.3 C.4 D.5 【例题5】甲乙两人从相距10千米的地方相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米。甲出发时带着一只狗，狗每小时跑10千米，当狗碰到乙的时候就往回跑向甲，碰到甲的时候又折回跑向乙，如此反复。当甲乙两人相遇时，狗跑的路程是： A.10千米 B.12千米 C.15千米 D.20千米【例题6】小明、小华、小红、小军四人约好进行骑行游戏，且小军比另外三人早出发2小时，小明、小华、小红骑行速度分别为20千米/小时、18千米/小时、15千米/小时。小明花3小时可以追赶上小军，小华花4 小时可以追上小军，小红花（）小时可以赶上小军。 A.5 B.6 C.7 D. 8 【例题7】小王乘坐匀速行驶的公交车，和人行道上与公交车相对而行、匀速行走的小李相遇，30秒后公交车到站，小王立即下车与小李同一方向匀速快步行走。已知他行走的速度比小李的速度快一倍但比公交车的速度慢一半，则他多久之后追上小李？ A.3分钟 B.2分钟30秒 C.2分钟 D.1分钟30秒【例题8】两名运动员在湖的周围环形道上练习长跑，甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米，两人同时同地同向出发，经过45分钟甲追上乙；如果两人同时同地反向出发，经过（）分钟两人相遇。 A.3 B.4 C. 5 D.6 【例题9】甲和乙从环形跑道的同一点出发，向相反方向匀速慢跑，乙的速度是甲的一半。两人3分钟后第一次相遇，此后乙加速又跑了正好半圈后和甲第二次相遇。问两人第一次到第二次相遇间隔了多长时间？ A.2分10秒 B.2分15秒 C.2分20秒 D.2分30秒 158

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上岸鸭公考内部资料，仅供交流学习懂公考更懂你【例题10】某农产品基地对外供应一批农副产品。假设这批农副产品每天都有定量的自然损耗，如果提货方每天运走1.5吨产品，则50天运完；如果提货方每天运走2吨产品，则40天运完。那么这批农副产品有： A.75吨 B.80吨 C.100吨 D.110吨 159

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上岸鸭公考懂公考更懂你内部资料，仅供交流学习第五节排列组合问题理论精讲排列组合问题指研究题干给定的情况，求可能出现的情况数、结果数、方法数的数学问题，所以又称为计数问题。一、计数原理（一）加法原理做一件事情，完成它有n类方式，第一类方式有M1种方法，第二类方式有M2种方法，，第n 类方式有Mn种方法，那么完成这件事情共有M1+M2+..…+Mn种方法。简称：分类相加。（二）乘法原理做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有Mi种不同的方法，做第二步有M2种不同的方法，…，做第n步有Mn种不同的方法。那么完成这件事共有MxM2×…xMn种不同的方法。简称：分步相乘。二、排列与组合（一）排列数排列：指从n个不同元素中任取m个按照一定顺序排成一列，排列种数记作A”。排列数A”：从数字n开始，按自然数顺序往下乘，乘m个数。例如：从5个人中选出3个人站一条队。（二）组合数组合：指从 n个不同元素中取出 m个元素作为一组，组合种数记作C A 组合数C：例如：从5个人中选出3个人组成一个学习小组。三、常用方法（一）枚举法 1.适用环境：选项中能看出总的方法数较少 (通常选项数据较小) 160

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上岸鸭公考内部资料，仅供交流学习懂公考更懂你 2.操作方法：将所有情况一一列举，不重不漏。（二）优限法 1.适用环境：题干出现有绝对限制条件的元素（或位置），如甲必须站在第一位、最后一个位置必须为丁。 2.操作方法：①解题时优先考虑有绝对限制条件的元素（或位置）；②再去确定其他元素（或位置）。（三）捆绑法 1.适用环境：元素要求“相邻”“连续”“在一起”“挨着”等。 2.操作方法：①将相邻元素捆绑成一个整体；②将这个整体与其他元素进行排序；③最后考虑整体内部各元素间的顺序。（四）插空法 1.适用环境：元素要求“不相邻”“不连续”“间隔”等。 2.操作方法：先排没有特殊要求的元素，将不相邻的元素插入这些元素的间隔（空）之中，注意两边的位置也属于间隔（空）。经典例题【例题1】某会计事务所从4名高级会计师和6名中级会计师中选派4人到甲、乙两个企业进行财务审计，每个企业派遣2名会计师，且每个企业至少有1名高级会计师，问共有多少种不同的派遣方法？ A.380 B.420 C. 470 D.510 【例题2】某快递公司从10位快递员中选出5名分别去5个不同的快递站点A、B、C、D、E参与快递配送工作，其中有3名快递员不能去快递站点E，则一共有多少种分配方式？（） A.24356 B.21168 C.23231 D.28534 【例题3】某生日派对上，主人需要9升可乐，某客人帮忙去超市购买可乐，发现超市的货架上有15瓶规格5升的可乐，3瓶规格2升的可乐和8瓶规格1升的可乐。该客人若要满足主人的需要，则有多少种购买方式？（） A. 4 B.5 C. 6 D. 7 161

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上岸鸭公考懂公考更懂你内部资料，仅供交流学习【例题4】企业采购25台相同的计算机分配给4个不同的部门，要求任意2个部门分配到的计算机数量不同，（） A. 24 B.48 C. 144 D.288 【例题5】某单位将11本《党员学习手册》分发给甲、乙、丙共3个党支部。已知甲支部至少分得3本，乙支部至少分得2本，丙支部至少分得4本，问一共有多少种不同的分配方式？（) A.3 B.4 C. 5 D.6 【例题6】某公司开展迎新春三分球投篮比赛。3个部门分别派出2、4、4个选手共计10人参加。规则要求同一个部门的选手顺序相连、全部投完再安排另一个部门的人员开始投篮。则这10人不同的投篮顺序种数的范围是： A.小于1000 B.1000-5000 C.5001-10000 D.10000以上【例题7】现有三位老年人与三位学生排队等待上公交车，则恰有两位学生相邻排队等候的情形有（）种。 A. 432 B.254 C.320 D.400 【例题8】把12棵同样的松树和6棵同样的柏树种植在道路两侧，每侧种植9棵，要求每侧的柏树数量相等且不相邻，且道路起点和终点处两侧种植的都必须是松树。问有多少种不同的种植方法？ A.36 B.50 C.100 D.400 【例题9】某庆典仪式上准备表彰5位先进工作者。5人排成一排依次上台，张洁不能排在最后一个，李豪不能和张洁相邻，问可能有多少种上台顺序？ A.18 B.30 C. 42 D. 54 162

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上岸鸭公考内部资料，仅供交流学习懂公考更懂你第六节古典概率问题理论精讲、基本概念概率是反映随机事件出现的可能性大小。随机事件是指在相同条件下，可能出现也可能不出现的事件。概率一般用P来表示。若某事件一定发生，则该事件发生的概率为1，若某事件一定不发生，则该事件发生的概率为0。概率的取值范围为：0≤P≤1。二、古典概率 1．定义某一事件的所有情况可以分成n个等可能样本，其中事件A包括了m个样本，则事件A发生的概率表示为P（A）。 2.特征 (1）结果有限性：某事件的结果可以分成n个等可能样本，所有可能结果只有有限个。 (2）结果等可能性：每个可能结果出现的可能性相等。 3.公式事件A包含的等可能样本数 P(A) ° () 可能发生的总的等可能样本数在计算等可能样本数时，通常都需要结合排列组合进行计算。三、独立事件在概率问题中，独立事件是指一个事件的发生与其他事件的发生无关。 1.定义多个互不影响的事件发生的概率问题。换而言之，如果两个事件是独立的，那么一个事件的发生不会对另一个事件的发生产生影响。 2.计算原则事件分类发生时，概率相加；事件分步发生时，概率相乘。 163

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上岸鸭公考懂公考更懂你内部资料，仅供交流学习经典例题【例题1】某单位组织植树活动，共有20名职工参加，并分成了3个2人小组、3个3人小组和1个5人小组。如果从所有组中随机选出3个组，则选出的3个小组人数之和为3的倍数的概率（）。 A.不到15% B.在15%到25%之间 C.在25%到35%之间 D. 超过35% 【例题2】某企业排班调休，每名职工在下个星期的七天内随机安排两天休息，问职工小韩和小李被安排的休息日完全相同的概率为（）。 1 1 1 A. B. D. 7 14 15 21 【例题3】一次学术会议安排3名教授和2名副教授作报告，要求第一个和最后一个作报告的都是教授。如在满足此要求的安排中随机选择一种，则2名副教授的发言次序相邻的概率为（）。 1 1 2-3 3 A. B. -3 C. D. 4 4 【例题4】某单位举行抽奖活动，在一个箱子里放了10个球（2个红球，8个白球），职工从中同时抽出2个球，至少有一个红球为中奖，则中奖概率是多少（）。 17 28 4 A. B. C D. 45 45 5 5 【例题5】某网站有7个专栏，某日小张随机浏览了4个专栏，小雷随机浏览了3个专栏。问当日该网站有3个专栏均被两人浏览过的概率在以下哪个范围内？（） A.0.1-0.3之间 B.0.3-0.5之间 C.0.5-0.7之间 D.大于0.7 【例题6】甲、乙、丙三位同学参加某单位的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲只要面试合格就签约。乙、丙二人约定：只有两人面试都合格才一同签约，否则都不签约。若他们三人面试合格的概率都是二，且面试是否合格互不影响，则他们三人都没有签约的概率为： 164

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上岸鸭公考内部资料，仅供交流学习懂公考更懂你 1 3 5 A. B. D. 4 8 2 8 【例题7】 “双减”政策实施后，某小学下午5:30放学，小李5:00下班去接孩子回家，当不堵车时，5:30之前到校；当堵车时，5:30之前到校的概率为0.6。若5:00-5:30堵车的概率为0.3，则小李5:30之前到校的概率是： A.0.78 B.0.80 C. 0.88 D.0.91 165

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上岸鸭公考懂公考更懂你内部资料，仅供交流学习第七节几何问题理论精讲平面几何常见平面图形周长与面积公式几何图形图形周长面积底×高三角形 a+b+c 2 b 正方形 4a a 长方形 2(a+b) ab a 菱形对角线乘积+2 4a a a+b 梯形 xh 2 b 圆形 2πr πr nπr nπr² 扇形 -+2r 180 360 （二）三角形常用性质 1.直角三角形勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，即(a²+b²=c²)。常见的勾股数：（3、4、5）（6、8、10）（5、12、13）。 166

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上岸鸭公考内部资料，仅供交流学习懂公考更懂你【解析】（6、8、10）（5、12、13）这两个直角三角形还具有一个特殊的性质：其面积值等于其周长值。对于直角三角形而言，有2个相对特殊且常考的三角形，如下图所示：类型有一个角是30°的直角三角形等腰直角三角形 45° 30° √2a √3a 2a 图示 D 三边之比 1: √3 :2 1:1:√2 二、立体图形常见立体图形表面积和体积公式几何图形图形表面积体积正方体 6a2 长方体 2 (ab+ac+bc) abc 棱锥 Sh 3 S 圆柱 2πr²+2πrh πr²h 圆锥 πr²h 3 S 167

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上岸鸭公考懂公考更懂你内部资料，仅供交流学习 4 球 4πr² 一 πr 3 经典例题【例题1】一条东西向的河流宽50米，如下图所示，甲划船从北岸的A点出发，直线航行130米后到达南岸的 B点，然后向左转向90度继续直线行驶，到达河流北岸的C点，问A、C两点的距离在以下哪个范围内？（） A C B A.不到150米 B.150-160米之间 C.160-170米之间 D.超过170米【例题2】阳光下，电线杆的影子投射在墙面及地面上，其中墙面部分的高度为1米，地面部分的长度为7米。甲某身高1.8米，同一时刻在地面形成的影子长0.9米。则该电线杆的高度为（）。 A.12米 B.14米 C. 15米 D.16米【例题3】如下图，AD=DE=EC，F是BC的中点，G是FC的中点，如果三角形ABC的面积是24，则三角形 CEG的面积是（）。 B F G A.2 B.3 C.4 D.5 168

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上岸鸭公考内部资料，仅供交流学习懂公考更懂你【例题4】如图所示，3个同心圆的半径比为1：2：3。乙A0B=120°，那么阴影部分和非阴影部分的面积比为多少？（) A B A.1:2 B.2:3 C.3:4 D.4:5 【例题5】一个圆柱形的水缸中装有水，水面距离底部5厘米，已知底面直径为60厘米。现在水中不堆叠地放入3个相同的正方体铁块后，水位上升了1厘米。则正方体铁块的棱长（）。 A.不到10厘米 B.在10到11厘米之间 C.在11到12厘米之间 D.超过12厘米【例题6】有大、中、小三个池口都是正方形的长方体水池，已知中、小水池的池口边长分别为50cm和40cm。把两堆石子分别沉入中、小池内，这两个水池的水面分别上升了8cm和10cm。把两堆石子都沉入大水池，水面上升了10cm。那么大水池的池口边长是多少？ A.60cm B.65cm C.70cm D.75cm 【例题7】一个正方体零件的体积为1，如用此零件切割出一个尽可能大的圆柱体零件A，再用A切割出一个尽可能大的正方体零件B，则B的体积在以下哪个范围内？ A.不到0.3 B.0.3-0.4之间 C.0.4-0.5之间 D.超过0.5 【例题8】在一个正方体木块朝上的一面上竖直挖个贯通的正方形通道，已知正方体的边长为20cm，通道洞口的边长为10cm，则正方体的表面积增加了（）。 A.100 cm² B. 400 cm² C. 500cm² D. 600 cm² 169

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上岸鸭公考懂公考更懂你内部资料，仅供交流学习第八节最值问题理论精讲和定最值题型特征在多个量的和、平均数一定的情况下，求其中某个量的最大或最小值的问题。（二）解题原则求某个量的最大值，让其他的量尽可能的小；求某个量的最小值，让其他的量尽可能的大。二、最不利原则（一）题型特征题干中的问法出现“至少..，才能保证.”“为了保证…发生，至少应..”的描述，且所求为保证事件发生的保证数的问题。（二）解题原则确定最不利情况，即在不达到题干目的的情况下，所能取得的最大数量（即最不利数）。题干所求的保证数=最不利数+1。经典例题【例题1】现有21本故事书要分给5个人阅读。如果每个人得到的数量均不相同，那么得到故事书数量最多的人至少可以得到（）本。 A.5 B.7 C.9 D.11 【例题2】 5个人平均年龄是31，5个人中没有小于25的，那么年龄最大的人至多是多少岁？（）。 A.58 B.55 C.52 D.48 【例题3】有41块蛋糕分给7人，若每个人分得的蛋糕数各不相同，且分得蛋糕数最多的人不超过9块，则分得蛋糕数最少的人最少分得（）块蛋糕。 170

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上岸鸭公考内部资料，仅供交流学习懂公考更懂你 A.1 B.2 C. 3 D. 4 【例题4】在一次竞标中，评标小组对参加竞标的公司进行评分，满分120分。按得分排名，前5名的平均分为 115分，且得分是互不相同的整数，则第三名得分至少是： A.112分 B.113分 C.115分 D.116分【例题5】一个纸箱中装有 43 本同样大小的教辅资料，其中物理教辅资料4本，化学教辅资料3本，语数英三种教辅资料各12本，那么一次至少拿出多少本教辅资料，才能保证取的教辅资料中至少有7本是同一种教辅资料？ A.7 B.26 C. 28 D.29 【例题6】从一副完整的扑克牌中至少抽出多少张牌，才能保证至少有5张牌的花色相同？ A.17 B.18 C.19 D.20 【例题7】某班级设立了数学、物理、化学、生物4个学习兴趣小组，要求每位同学参加其中1个或参加其中的 2个小组，无论如何安排，都有至少4名同学参加的兴趣小组完全相同，则该班级至少有（）名同学。 A.31 B.37 C.43 D. 45 171

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上岸鸭公考懂公考更懂你内部资料，仅供交流学习第九节容斥问题理论精讲、基本概念容斥问题指几个计数部分有重复计数现象的数学问题。容斥原理是一种计数方法，其基本思想是先不考虑重叠部分，对每一部分分别进行计数，然后将这些计数加起来。由于这样直接相加会导致重叠部分被多次计算，因此需要再减去这些重叠（即重复计数）的部分。这样做可以确保最终计数结果既不会遗漏任何元素，也不会对任何元素进行重复计数。二、常考题型（一）二者容斥 1.题型识别与基本概念涉及两个集合间交叉关系的题目称为二者容斥问题。两集合间的容斥关系如下图所示： B ① 2 ③ ④ M 其中，I表示集合中的元素总数，又称全集。A、B表示两个集合，M表示在全集中，但不在A、B两个集合中的元素，又称补集。①表示只存在于A集合中的元素，③表示只存在于B集合中的元素，②表示既存在于A集合中又存在于B集合中的元素，即A、B两个集合的交集，写作A∩B。 2.常用解题方法 (1）基本公式法 ①基本公式 I=A+B-ANB+M ②使用环境题目所求为基础公式中某一数据时，可使用公式进行求解。 ③使用步骤步骤总结：①判断题型；②确定数据；③确定方法及公式；④代入计算。 172

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上岸鸭公考内部资料，仅供交流学习懂公考更懂你 (2）文氏图法 ①使用环境当遇到不便于直接套用公式法迅速解决或明确表达的问题时，应当及时考虑使用文氏图法来辅助求解。例如题目中出现诸如“只A”“只B”等表述时，优先采用文氏图进行解题将是一个高效的方法。通过直观的图形展示，可以更清晰地理解和分析问题，从而找到解决方案。 ②解题步骤步骤总结：①判断题型；②确定方法；③通过文氏图标注数据，计算结果。（二）三者容斥 1.题型识别与基本关系涉及三个集合间交叉关系的题目称为三者容斥问题。三集合间的容斥关系如下图所示： A ① ④ ② (7 5 ? ? ③ M 其中，I表示集合中的元素总数，又称全集。A、B、C表示三个集合，M表示在全集中，但不在A、 B、C三个集合中的元素，又称补集。①表示只存在于A集合中的元素，②表示只存在于B集合中的元素， ③表示只存在于C集合中的元素，④+①表示A、B两个集合的交集，写作A∩B；5+表示A、C两个集合的交集，写作A∩C；+表示B、C两个集合的交集，写作B∩C。表示A、B、C三个集合的交集，写作A∩B∩C。 2．常用解题方法 (1）基本公式法 ①标准公式 1．公式： I=A+B+C-ANB-ANC-BNC+ANBNC+M ⅡI.使用环境：题目涉及求全集I、三者都属于（交集），三者都不属于（补集）的时候，且题干中给出了具体的两两交集的数值，可使用标准公式进行求解。 IⅢI.使用步骤： 173

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上岸鸭公考懂公考更懂你内部资料，仅供交流学习步骤总结：①判断题型；②确定数据；③确定公式；④代入计算。 ②非标准公式 1．公式： I=A+B+C-只属于两项-2×ANBNC+M ⅡI.使用环境：题目涉及到求全集I、三者都属于（交集），三者都不属于（补集）的时候，且题干中给出了只属于两个集合的元素的数值，可使用非标准公式进行求解。 IⅢI.使用步骤：通过下题讲解使用非标准公式求解三者容斥问题的步骤。步骤总结：①判断题型；②确定数据；③确定公式；④代入计算。 (2）文氏图法 ①使用环境公式法不能直接解决的题目，及时考虑文氏图法画图辅助求解。 ②解题步骤通过下题讲解使用文氏图求解三者容斥问题的步骤。步骤总结：①判断题型；②确定方法；③通过文氏图标注数据，计算结果。（三）容斥极值 1．题型识别研究容斥问题中交集的最小值的问题。 2．基本公式两者容斥的交集最小值=A+B-I; 三者容斥的交集最小值=A+B+C-2I; n 者容斥的交集最小值=n个集合的和-（n-1）全集。经典例题【例题1】某事业单位共有98名员工，其中党员48人。女性员工65人，非党员的男性员工14人，问女性党员的数量为（）。 A. 26 B.29 C. 33 D. 37 174

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上岸鸭公考内部资料，仅供交流学习惟公考更懂你【例题2】某年级开设了围棋和羽毛球学习班。该年级90名学生中报名围棋班的有70名，报羽毛球有65名，两个班都不报的有15名，则两个班都报的有（）名。 A.58 B.57 C.59 D. 60 【例题3】为了迎接即将到来的摄影大赛，赵凯选用了甲、乙、丙三张照片让公司的同事进行评价。已知赵凯一共找了270名同事，其中喜欢甲的有131人，喜欢乙的有120人，喜欢丙的有142人，喜欢甲和乙的有60 人，喜欢甲和丙的有70人，喜欢乙和丙的有62人，三张照片都喜欢的人有28人。那么有多少人三张照片都不喜欢？ A. 22 B.34 C. 41 D.56 【例题4】某高校法学院对学生毕业后就职于司法机关、律所、企业的意愿进行调查，共725名学生参与调查，可选其中0至3项。结果显示，选择司法机关、律所、企业的学生分别有360人、380人、237人，3项都选的学生有60人，3项都不选的学生有8人，则仅选择其中1项的学生有（）人。 A.517 B.516 C.515 D. 514 【例题5】学院统计某专业本月借阅图书情况后得知：该专业共有200名学生，借阅的书籍集中在金融类、数学类和文学类。其中借阅金融类书籍的有120人，数学类书籍的有136人，文学类书籍的有104人，有8人本月没有借书。那么本月学院该专业三类书籍都借阅的人数最多可能为多少人？（） A.78 B.84 C. 156 D.168 【例题6】某娱乐公司新招聘了19名有舞蹈、唱歌、编剧特长的人才，其中有2人会舞蹈、编剧但不会唱歌，1 人会舞蹈、唱歌但不会编剧，其余人只有1种特长，已知会唱歌的人比会编剧的人数多1倍，比会舞蹈的人数多3人，则只会舞蹈的有（）人。 A.3 B.4 C.5 D.6 【例题7】某软件公司对旗下甲、乙、丙、丁四款手机软件进行使用情况调查，在接受调查的1000人中，有68% 的人使用过甲软件，有87%的人使用过乙软件，有75%的人使用过丙软件，有82%的人使用过丁软件。那么，在这1000人中，使用过全部四款手机软件的至少有（）人。 A.120 B.250 C. 380 D. 430 175

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